Un acercamiento al Teorema de Pitágoras

Proponemos una secuencia didáctica para que los estudiantes interpreten el teorema del sabio Pitágoras.

PITÁGORAS Y SU DESCUBRIMIENTO

Capacidades a desarrollar:

•Interpreta y explica el Teorema de Pitágoras.
•Comprueba experimentalmente el Teorema de Pitágoras en casos particulares y generaliza.

SECUENCIA DIDÁCTICA

1. SE DICE QUE …

¡Pitágoras los habría dibujado luego de hacer su descubrimiento! (nos ayudarán a re cuperar saberes previos sobre figuras geométricas, triángulos rectángulos, áreas de cuadrados.)












2. ¿Qué descubrió Pitágoras?
Cuenta la leyenda que Pitágoras hizo su descubrimiento al observar un piso que estaba formado por mosaicos como este:












Reproduciremos lo que vio el sabio:

• Dibuja el mosaico en tu cuaderno cuadriculado.
  
• Luego, dibuja un triángulo rectángulo (tomando la mitad de un cuadradito)
  • Forma cuadrados con los lados del triángulo rectángulo que dibujaste.
  
  

Observa. ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados que formaste? ¡¡¡Es lo que vio Pitágoras!!!!

• Visita el ISPP Salesiano en la Av. Brasil y ¡verás un patio recubierto con mosaicos como los que vio Pitágoras! ¡Comprueba en ellos lo que dijo el sabio!
  
  3. Comprobando la relación en un triángulo rectángulo más grande(isósceles)
  
  • En tu cuaderno cuadriculado dibuja un cuadrado más grande que el que dibujaste anteriormente (por ejemplo 6 x 6).
  • Traza las diagonales de todos los cuadrados.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• Considera un triángulo rectángulo cuyos catetos coincidan con los lados de 2 cuadraditos.

• Forma cuadrados con los lados del triángulo.


• Observa...
  
• 

• ¡Compara las áreas de los cuadrados!!!
• ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados que formaste?

4. ¿Se cumple el Teorema de Pitágoras para un triángulo cuyos catetos no son congruentes como en los casos anteriores?

Comprobando en un triángulo rectángulo escaleno cuyos catetos miden 3 y 4 unidades

• Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3 y 4 cuadraditos respectivamente.
• Corta un cuadrado de la misma hoja en la que has dibujado el triángulo y pégalo sobre la hipotenusa. ¿Cuál será el área del cuadrado que debes pegar sobre la hipotenusa?





Observa .¿qué relación hay entre los cuadrados generados por los lados del triángulo rectángulo?

Generalizando:

De manera general ¿qué podríamos decir, junto con Pitágoras, para un triángulo rectángulo cualquiera?

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5. Reforzando. demostrando intuitivamente...

Desarrolla la EXPERIENCIA PARA REALIZAR LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, DE PERIGAL (Matemático inglés 1801-1898) o de Bashkara (máximo representante del pensamiento matemático y astronómico en el Siglo XII); usando material concreto.
6. Desarrolla una experiencia interactiva en internet.

Buscando estrategias para la resolución de problemas

Dedico esta entrada y todas las que pudiera hacer y todo mi trabajo,con todo mi cariño, a mi padre que se está yendo al encuentro del SEÑOR.

Buscando espacios para la resolución de problemas y considerando que realizar experimentos, utilizar instrumentos, hacer mediciones, etc. son algunas estrategias para favorecer el aprendizaje de la Matemática y el desarrollo de habilidades y capacidades, propusimos a los estudiantes que realizaran una investigación sobre EXPERIMENTOS PARA HALLAR EL VALOR DE π , para luego desarrollarlos mediante trabajo en equipos.

Algunas experiencias para encontrar el valor de pi de manera experimental, se pueden desarrollar utilizando objetos del entorno. Se trata de medir la longitud de la circunferencia y dividir entre el diámetro de la misma. Es fácil medir la longitud de la circunferencia de dichos objetos, utilizando cuerdas y/o cintas métricas, sin embargo, se presenta un problema ¿cómo medir el diámetro de algunos objetos reales, como una base del tarro de leche, una tapa de olla o un plato?

Teniendo en cuenta que para medir el diámetro necesitamos conocer el centro ¿dónde ubicamos el centro?... se supone que no conocemos π, ni las fórmulas para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo y que nos encaminamos para descubrirlas.

Parece sencilla la pregunta y también las respuestas que dieron los estudiantes a quienes se la formuló (2° y 4°); sin embargo, para responderla, tuvieron que poner en juego múltiples capacidades matemáticas que involucran conceptos como diámetro, centro de la circunferencia, paralelas, rectas tangentes, cuadriláteros,polígonos circunscritos, diagonales, etc., además de capacidades comunicativas y sociales.

Como fue una experiencia muy interesante que valorizo como profesora, por la interacciones y fundamentaciones que se generaron en ella , les cuento algunas de las estrategias e interesantes propuestas que desarrollaron los estudiantes para ubicar el centro y medir el diámetro de circunferencias reales:

1. Buscaron circunferencias en su entorno:
en la tapa de un ánfora, en la base de un tarro de leche; en contorno de platos y tapas, etc.

2. Manipularon, observaron los objetos y dialogaron en busca de soluciones.

3. Propusieron estrategias:

Víctor Sánchez, Patty Meléndez y Jahaira Oré midieron la longitud de la circunferencia con una cinta métrica y la dividieron en 4 partes iguales. Marcaron los puntos sobre la circunferencia y unieron 2 a 2. Determinaron así el centro.

Alex Arroyo, Joel Novoa, Jesús Miranda y Dante Pérez , midieron la longitud de la circunferencia con una cuerda. Luego tomaron la mitad de la cuerda, la colocaron alrededor de la circunferencia que habían medido ; marcaron los puntos y luego los unieron encontrando el diámetro... el centro se encontraría en su punto medio.

Kevin Salinas inscribió la circunferencia de la base de un tarro de leche en un cuadrado, considerando una esquina de su carpeta. El centro estaría en el cruce de las diagonales del cuadrado.

Lady Cruz y Clara Huamán sacaron el molde de la circunferencia en papel y haciendo dobleces hallaron el centro y midieron en el papel el diámetro.

Katty Inga y Aytana Ponce pusieron la base del tarro entre dos rectas (reglas) tangentes paralelas ... midieron la distancia entre paralelas y ese era el diámetro. Algo parecido hizo el grupo de Elías García y Eduardo Cabana que tomó como una recta tangente a la base, el borde de la mesa y con una regla fijó la otra tangente paralela...

El Sistema de Numeración de los antiguos peruanos

Resulta interesante conocer que Don Ricardo Palma , importante y reconocido escritor peruano(1833 -1919, http://es.wikipedia.org/wiki/Ricardo_Palma) en sus Tradiciones Peruanas (T9.Páginas 161-163), considera el Sistema de Numeración que usaban los antiguos peruanos y sostiene algunos argumentos a favor de la utilización del SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL por los antiguos peruanos basados en el uso de los quipus, la organización de sus ejércitos y sus pueblos, la relación de juego con palabras cuyo significado es “contar”, la señalización de sus caminos, etc.

Él señala: “Pero si somos de los primeros en convenir que hay mucho en los tiempos incaicos que admite controversias, es para nosotros clarísimo y ya bien dilucidado punto el de la numeración decimal a base del sistema generalizado hoy en el mundo, fue la usada por los antiguos peruanos.”

….“ Los quipus, exclusivos del Perú y de pocos pueblos de Asia, no servían, como algunos sostuvieron para consignar hechos, sino cantidades. No reemplazaban a la palabra escrita, sino a la numeración. Eran un manojo de hilos de diversos colores, en los que por medio de nudos se marcan la unidad, la decena, la centena y el millar. Por lo menos tal es mi creencia, que no me propongo imponer a los demás.”…

“…otro argumento en el que, como el de los quipus están uniformes todos los cronistas de Indias, es el de la organización que los Incas debían dar a sus ejércitos y aun a sus pueblos, lo que les permitía tener una base firme para la formación de un exacto uso y cobro de contribución. Las decurias y centurias de los romanos existieron en el Perú, cada cuerpo de ejército o batallón, entre los peruanos se componía de diez centurias, o sea de mil soldados.”…

“Todos los juegos se llaman en quichua chunga (diez), porque todos los números van al deceno. Los peruanos tomaron, pues, el número diez por el juego, y para decir juguemos dicen chuncasun, que en rigor de significación es contemos por dieces”(Comentarios Reales. Capítulo XIV, libro XX.”

También dice Palma : "Otras razones, en apoyo a mi creencia de que la numeración decimal fue usada por los antiguos peruanos podría alegar; pero excuso hacerlo por que carecen de la importancia decisiva que revisten las ya apuntadas. Una de ellas sería, por ejemplo, la de que los casi destruidos Caminos Reales del Cuzco a Quito, y que hasta hoy se llaman Camino del Inca, a cada distancia de diez mil pasos colocaban una piedra o señal especial. Ponemos punto, que para expresar los fundamentos en que apoyamos nuestra opinión histórica sobra con lo escrito.”

Tradiciones Peruanas T.9 pág. 161-163

Había una vez un maestro...

A puertas de iniciar el Año Escolar 2009 y con el ánimo de generar una reflexión sobre nuestra labor docente y su importancia en la formación de seres humanos, quiero dedicar a los maestros de mi patria, fragmentos de un cuento titulado Cuentos Paralelos (anónimo) :

Había una vez ... una escuela con un solo maestro que tenía la misión de enseñar todas las asignaturas. Este docente que no era especializado en ninguna, preparaba muy bien sus clases para cumplir con eficacia su labor.
De él se decía que tenía mística, vocación y un modo extraño de dinamizar el aprendizaje; en Matemáticas enseñaba la honradez: se aprende a hacer cuentas y a manejar los números – decía- para no engañarse, ni engañar a los demás. Enseñaba a multiplicar servicio, o a sumar cooperación, a restar mala voluntad y a dividir ganancias y virtudes entre todos. Unía la matemática con las Sociales, relacionando operaciones con el tiempo y el espacio.
Hacía recorridos geográficos por el mundo y por la historia, resaltando las bondades de los protagonistas. Valoraba no solo a los inventores, los líderes y los generales, sino también a los soldados, a los indígenas, a los campesinos y a los labradores.
Enseñaba a amar el arte , los artistas, las obras y los artesanos, mostraba la belleza de la naturaleza y la conectaba con la gratitud a Dios.
Unía la vida del Universo con la del ser humano y con la de todas las criaturas en el área de las Ciencias Naturales… Mostraba la importancia de la comunicación con palabras decentes, optimistas, sutiles y respetuosas …hacía volar la imaginación con símbolos que tuvieran significado para la vida, la familia, la patria, la identidad y el sentido de pertenencia a la Madre Tierra.
Creía en el juego y se confundía con sus muchachos en movimientos lúdicos que llenaban de alegría y espontaneidad el aprendizaje…
Era un profesor que reflejaba actitudes de amor para su trabajo. Para él , dictar clase era un medio de formación holística. Entendía que los valores no se enseñan, sino que se integran al trabajo, se viven, se sienten. La ética era una costura con la que tejía los saberes, siendo consecuente y dándose a sí mismo. Más que a la mente, llegó al corazón de los jóvenes.

¡¡¡¡¡FELIZ AÑO ESCOLAR 2009!!!!

La Yupana o Ábaco peruano, un elemento del patrimonio cultural en la clase de Matemática.

Para amar al Perú debemos conocerlo. Como profesores, en nuestro trabajo diario, podemos contribuir a que nuestros estudiantes, conozcan desde diferentes ángulos la riqueza de nuestra patria. Tenemos una gran riqueza en la diversidad social, cultural, ecológica. En ese sentido, un elemento muy importante de nuestro patrimonio cultural que debemos conocer, valorar y trabajar es el ábaco, la Yupana. Este importante legado de nuestros antepasados, puede servirnos para trabajar interdisciplinariamente con áreas como Comunicación, Ciencias Sociales, CTA; y en la clase de Matemática para trabajar sistemas numéricos de manera general y en especial el sistema decimal: representar números y realizar operaciones básicas. De esta manera estaríamos rescatando, difundiendo , generando espacios para reconocer y valorar nuestro patrimonio cultural a la vez que propiciamos el desarrollo de capacidades y actitudes; y contribuyendo en la construcción de nuestra identidad nacional.

La “Yupana” era hecha de diferentes materiales: barro, piedra o madera; de 20 x 30 cm, diseñada con una serie de cuadrantes, donde se colocaban generalmente granos de maíz y que servían a los incas, para llevar un control estricto de una serie de funciones que necesitaban de una estadística general en su gobierno. (1)

Se puede trabajar también con una adaptación de la yupana dibujada y fotocopiada , utilizando granos de maíz , lentejas, etc; o lápiz para marcar las diferentes posiciones de las cifras , para desarrollar operaciones.

Manejo de la Yupana

Aunque en "Perú, 3000 años de obras maestras", realizado en Florencia, Italia, durante diciembre 2003 y enero de 2004; Nicolino De Pasquale, un profesor italiano de ingeniería, dijo haber descubierto el sistema de cálculo que utilizaban los incas, y expuso su teoría con algunos ejemplos, mostrando al parecer, que los incas no utilizaron el sistema decimal (10), sino un sistema de 40. Seguiremos adaptando la yupana al sistema decimal para la representación de números y realizar operaciones *.

(1) http://www.boletindenewyork.com/temas.yupana.htm

* También puede usarse para representar números y realizar operaciones en otros sistemas de numeración.

Para realizar la operación de adición :

· Un sumando se coloca en la yupana y el otro en la parte externa correspondiente, respetando la posición de las unidades y decenas o centenas según sea el caso.

· Luego ubicamos los granos o piedras que están fuera dentro de la yupana, en su correspondiente columna, obteniendo la suma.

Experiencia didáctica: Teselando el plano

Situación problemática

Se desea recubrir (teselar) el piso del salón de clase con mayólicas , azulejos o baldosas: ¿CÓMO RECUBRIR O DISEÑAR EL PISO DEL AULA DE CLASES?

PROYECTO:
TESELANDO EL PISO DE MI AULA DE CLASES

Introducción

A lo largo de la historia se han utilizado motivos geométricos con fines decorativos como vasijas, tejidos, puertas, ventanas ,muros y suelos. Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Estas decoraciones han sido realizadas mediante mosaicos o teselaciones. Se llama mosaico o teselación a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas (o más habitualmente losetas, mayólicas o baldosas) que no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos sin recubrir. Las teselaciones son pues las distintas maneras en que se puede cubrir un plano. Eso lo hacían los árabes, en las paredes y las puertas de las Mezquitas ; o Escher en sus cuadros. http://puemac.matem.unam.mx/matechavos/sabias/html/matearte/html/arteymate.html

En el presente proyecto, se pretende que a partir de la situación problemática ¿CÓMO RECUBRIR O DISEÑAR EL PISO DEL AULA DE CLASES? el estudiante desarrolle habilidades, realice aprendizajes significativos y elabore una propuesta de solución, valorizando y relacionando conceptos de polígonos y teselación del plano, con la realidad y el arte.

1. Capacidades que se esperan desarrollar:

• Identifica los polígonos que teselan el plano .
• Argumenta utilizando dibujos, la teselación del plano.
• Investiga la relación entre el arte y la teselación del plano.
• Resume o redacta un ensayo sobre la teselación del plano y el arte.
• Resuelve situaciones problemáticas relacionados con su realidad.

2. Indicadores :

• Identifica los polígonos que teselan el plano y argumenta utilizando esquemas y dibujos.
• Investiga y resume o escribe un ensayo sobre la teselación del plano y su relación con obras de arte.
• Elabora un modelo y resuelve una sistuación problemática,mediante trabajo en equipo.

3. Acciones didácticas

• Se inicia el tema preguntando sobre la situación de los pisos de los diferentes ambientes en la Institución educativa:¿Cómo son los pisos de la IE?
• Se plantea una situación problemática y a partir de ella se recuperan saberes previos: ¿CÓMO RECUBRIR O DISEÑAR EL PISO DEL AULA DE CLASES? Se pregunta a los estudiantes , sobre las formas que podrían tener las baldosas: ¿hay una única forma?¿qué y cuántas formas podrían adoptar las baldosas?
• Responden sugiriendo los polígonos que según ellos podrían recubrir el piso (plano).
• Justifican haciendo esquemas o dibujos.
• Investigan sobre la teselación y el arte y elaboran un resumen o ensayo sobre el tema.
• Forman equipos de trabajo.
• Se ponen de acuerdo, dan sugerencias para teselar un metro cuadrado de papel (que representaría un metro cuadrado del piso del salón) y proponen estrategias :
  
  - Eligen el polígono con el que teselarán el plano.
  - Hacen cálculos y proponen el tamaño de la loseta con la que trabajarán (el polígono).
  - Elaboran un esquema a escala, del diseño que pretenden realizar , en una hoja de cuaderno, indicando las dimensiones de las losetas, posición, ubicación, colores, etc.

• Teselan un metro cuadrado de papel.
• Muestran su trabajo a sus compañeros de clase y explican el razonamiento y procedimiento que realizaron.
• Coordinan con la profesora y demás grupos para realizar una exposición en el patio.
• Elaboran una ficha de auto evaluación y el grupo evalúa a cada uno de sus integrantes.
• Elaboran una ficha de coevaluación y evalúa el trabajo de los otros equipos.

Próximamente mostraré algunas fotos de los productos obtenidos.

Acercarse y Alejarse: una experiencia fundamentada en el marco teórico Evolucionista

ACTIVIDAD: ACERCARSE Y ALEJARSE
1. Introducción
Una experiencia muy valiosa ha sido el curso virtual “Estrategias para la enseñanza de la Matemática”del Portal Educativo de las Américas.OEA. 2008 http://www.educoea.org/ . Considero que las estrategias y actividades que plantea el curso son muy interesantes e importantes para la labor del docente de la especialidad que pretende lograr que sus estudiantes se motiven, construyan y aprendan Matemática. Dichas estrategias a la vez que consideran contenidos matemáticos, propician espacios para potenciar habilidades y actitudes; en un marco teórico Evolucionista con bases científicas.

ACERCARSE Y ALEJARSE es una experiencia que desde el primer momento me pareció muy interesante y me sentí motivada para validarla.

Se aplicó en el Primer grado Secciones “C” y “D” y en el 2° C Turno Tarde, de la Institución Educativa Nº 16 “ALMIRANTE MIGUEL GRAU” UGEL 03. San Miguel. Lima. Perú.

Se esperaba lograr que los estudiantes reconozcan que las medidas variaban según la distancia de las que eran tomadas: al acercarse aumentaba la medida y al alejarse disminuía; y que encuentren experimentalmente el factor de aumento.

2. Fundamentación
La enseñanza de la Matemática debe tener ciertas consideraciones , para que se produzcan los aprendizajes :

• Integración de contenidos y desarrollo de habilidades y actitudes
  En la actualidad, la Enseñanza de la Matemática considera el desarrollo de contenidos , así como de habilidades y capacidades, que les permitan aplicarlos a la vida ; y actitudes de los estudiantes, que les permitan actuar con gusto y placer al desarrollar sus diferentes actividades.
  
• Marco Evolucionista
  Una aproximación al problema del aprendizaje, que se basa en hallazgos recientes de la biología y psicología evolucionaria, considera que es necesario “identificar las capacidades innatas del cerebro para luego buscar estrategias de enseñanza de conceptos que ya no son tan innatos” (1). Los conceptos y las estrategias innatos o biológicamente primarios, son aprendidos sin necesidad de instrucción formal en los primeros cinco o seis años de vida, durante la interacción con otras personas.
  
  Fuentes de motivación
  Las actividades fundamentales para la motivación contienen componentes biológicamente básicos pues son actividades o situaciones que recurrentes en la vida de cada individuo y que son agradables pues han sido importantes para la supervivencia y reproducción de miles de generaciones. “…entonces la selección natural ha evolucionado mecanismos biológicos que nos hacen frecuentemente activar esas conductas, y esa alta frecuencia se logra haciendo que esas conductas y situaciones nos produzcan placer. Estos mecanismos son los pilares en los que se fundan experiencias de placer más complejas.”(1)
  Estas fuentes pueden ser cognitivas, tecnológicas e interpersonales.
  
  3. Respecto de la Actividad
  
  La actividad ACERCARSE Y ALEJARSE permite motivar e integrar el contenido matemático Multiplicación y división con el desarrollo de habilidades y actitudes.
  Las habilidades que considera son:
  · Manejo de información, Habilidades en cálculos,Habilidades de abstracción.
  En cuanto a las Actitudes, permite desarrollar gusto por encontrar patrones y reducir complejidad; gusto por construir modelos y usarlos para predecir comportamientos; gusto por buscar, usar y perfeccionar estrategias de solución; atracción por formar equipos para resolver problemas.
  
  La Actividad Acercarse y alejarse está fundamentada en la POSICIÓN EVOLUCIONISTA, en el sentido que es una estrategia relacionada con concepto y capacidad innatos , biológicamente primarios o básicos, como son las principales formas geométricas y la capacidad de reconocerlas ; la capacidad de seguir reglas y algoritmos y de obtener conclusiones.
  
  Esta actividad motivó y generó interés , participación y entusiasmo en los estudiantes; y también generó y propició un espacio para el trabajo en equipo así como para buscar estrategias de solución.
  
  A mi parecer resultaría también excelente para motivar el tema Homotecia, magnitudes inversamente proporcionales, proporcionalidad y mediciones.
  
  4. El Registro de la Observación
  
  Se registró la observación teniendo en cuenta el cuestionario típico para describir el perfil de una actividad, que propone el Curso “Estrategias para la Enseñanza de la Matemática” Portal de las Américas. OEA. 2008.
  En el desarrollo de la Actividad, los estudiantes:

• Leyeron la guía y comentaron en equipo.
• Formaron equipos.
• Propusieron estrategias de solución para colocar el rectángulo y hacer las mediciones.
• Completaron tablas.
• Elaboraron conclusiones en forma acertada parcialmente : la ampliación y reducción de la figura conforme el observador y su distancia al rectángulo.
• Debido a errores de medición, no pudieron hallar el factor de aumento o disminución.
• Manifestaron también sus sentimientos: se sintieron bien, contentos, motivados. Les gustó el trabajo en equipo para ayudarse .
  
  
• PROPICIÓ UN ESPACIO PARA BUSCAR ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN
  Los estudiantes propusieron estrategias de solución para colocar el rectángulo:
  - Algunos cogieron el rectángulo para que su compañero lo mida
  - Otros lo pegaron a la pared, como referencia para tomar las mediciones,
  - Otros , lo pegaron al cuaderno, para dar estabilidad al rectángulo.
  - Otros lo colocaron en un sujetador de fólder e hicieron una especie de banderita.
  
  
  Referencias:


• (1)Araya Roberto. Estrategias para la enseñanza de la Matemática. Séptima edición del Curso en Línea “Estrategias para la enseñanza de la Matemática”.Portal educativo de las Américas. Organización de los Estados Americanos. 2008.
  
• Araya, Roberto ¿Qué significa comprender una idea matemática?, revista La Educación de la Organización de Estados Americanos (OEA).http://www.educoas.org/portal/bdigital/lae-ducacion/136-138/
  
• Araya, Roberto. "Inteligencia Matemtica" Editorial Universitaria, 2000. http://www.universitaria.cl/consulta.pl?q=pub&mat=la&c=614&id=601


• Casti, John. Entrevista: A.I. , Máquinas que Piensan y Matemticas.http://www.iing.cl/docs/Araya_EntrevistaCasti.doc
  
• Cosmides, Leda. http://www.psych.ucsb.edu/research/cep/ledainterview.htm


• Gardner, Howard. La Inteligencia Reformulada: Inteligencias Mltiples en el Siglo XX. Paids.http://www.agapea.com/LA-INTELIGENCIA-REFORMULADA-Las-inteligencias-multiples-en-el-Siglo-XX-n88024i.htm
  
• Gardner, Howard. Entrevista Truth, Beauty, and Goodness: Education for All Human Beings.http://www.edge.org/3rd_culture/gardner/gardner_p1.html


• Gazzaniga, Michael. Entrevista Hemisferio Izquierdo y Derecho. http://www.automind.cl/educacion/publicaciones/michael_gazzaniga/hemisferios.htm