domingo, 18 de agosto de 2013

Thales y Gulliver en Liliput


Luego de superados algunos inconvenientes y dando gracias a Dios por este día tan especial y de tanto amor, les dedico esta entrada sobre Thales,  la semejanza de triángulos y Gulliver en Liliput .

Portada del libro que respeta la proporción
que indica el texto
  En la novela "Viajes de Gulliver" (Jonathan Swift, 1745), se narran las aventuras fantásticas de Lemuel Gulliver, quien vivió una de esas aventuras en un reino llamado Liliput, donde todos los seres vivos eran semejantes a los de nuestro mundo, pero de un tamaño mucho menor. Teniendo en cuenta los datos sobre la proporción entre las estatura de Gulliver y los liliputienses que el autor manifiesta en su libro; adaptamos una recreación de una situación matemática que se presenta en uno de los libros de Iniciación a la Matemática de Scoot-Foresman, y que puede ayudar a los estudiantes para la comprensión del corolario del Teorema de Thales y para la resolución de situaciones problemáticas referidas a la medición de alturas inaccesibles:

¿Cómo calcularon, los liliputienses, la altura de Gulliver?

En un determinado momento del día, los liliputienses midieron la sombra que proyectaba Gulliver y la que proyectaba una liliputiense ( de 6 pulgadas de estatura),y siguiendo el procedimiento sencillo del sabio Thales,  establecieron la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos semejantes formados y calcularon la estatura del médico aventurero!! ¿Puedes decir cuánto mide Gulliver? 


Sobre Thales y la semejanza de triángulos

   Se atribuye a Thales el teorema que recoge uno de los principios básicos de la geometría, sobre la semejanza de triángulos: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes (sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales entre si); obteniédose  
 como corolario:“Si dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales” referido  a que  la razón entre la longitud de dos de ellos se mantiene constante.  Según Herodoto, el propio Thales empleó este corolario para medir en Egipto la altura de la pirámide de Keops.


Existen diversos relatos de cómo Thales midió la altura de las pirámide de Keops, mencionamos algunas:
 Diógenes Laertius, escritor del siglo II d.C., cita Hieronymus, un alumno de Aristóteles:
Hieronymus dice que [Thales] logró medir la altura de las pirámides observando la longitud de su sombra en el mismo momento en el que la sombra de un hombre es igual a su altura.

Una declaración similar hace Plinio:

“Thales descubrió cómo obtener la altura de las pirámides y de todos los otros objetos similares, simplemente haciendo la medición de la sombra del objeto en el momento que un cuerpo y su sombra son iguales en longitud.”
La genialidad de esta observación se ve superada por la descripción que hace Plutarco (46 – 122 d.C) de la misma historia:
… colocó una estaca en el extremo de la sombra del vértice superior de la pirámide, así, construyendo dos triángulos con los rayos del Sol, demostró que la razón entre la altura de la pirámide y la estaca es la misma que la razón entre sus respectivas sombras.
Con esta observación, ni siquiera es necesario que la altura coincida con la longitud de la sombra.


Este teorema tal y como está formulado no aparece hasta tres siglos después en el libro VI de los Elementos de Euclides.
Egmont Colerus, en su “Breve historia de las Matemáticas”, escenifica cómo Thales pudo medir con exactitud la altura de la Pirámide de Keops:


“Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Entonces los sacerdotes le preguntan a Thales en que está pensando, y les explica: “Me pondré sobre un extremo de esta línea que mide la longitud de mi cuerpo y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante, la sombra de la pirámide también ha de medir tantos pasos como su altura”. Desorientados por la sencillez de la solución, le preguntan si acaso no existirá algún error. Más Thales añade: “Pero si queréis que os mida esa altura a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón. ¿Veis?, ahora su sombra es aproximadamente la mitad de
su longitud; por tanto, en este momento también la sombra de la pirámide mide la mitad de su altura. Ahora ya sabéis como poder medirla en cualquier momento: os bastará comparar la longitud del bastón con la de su sombra para encontrar, mediante división o multiplicación con la sombra de la pirámide, la altura de ésta”

En “El teorema del loro” de Denis Guedj, en la que se cuentan esta y otras muchas historias de las Matemáticas, respecto  de Tales y su medición de la pirámide de Keops dice:
“La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya, y por tanto, en el mismo instante que mi sombra sea igual a mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”. ¡¡Hete aquí la solución que buscaba!!”.
Solo faltaba ponerla en práctica y como Tales no podía hacerlo solo, necesitaban ser dos, el fellah (campesino) que le acompañaba accedió a ayudarlo. Al día siguiente, al alba, el fellah fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho (perpendicular a su sombra). Luego, fijó los ojos en el borde extremo de su sombra. Cuando ésta tocó la circunferencia, es decir, cuando su longitud era igual a su estatura, dio un grito convenido. En ese momento, el fellah, atento, plantó de inmediato un palo en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Tales corrió hacia el palo y, sin intercambiar una sola palabra, con la ayuda de una cuerda bien tensa midieron la distancia que separaba el palo del centro de la pirámide y supieron su altura pues ambas tenían que ser iguales.


Referencias
http://www.dad.uncu.edu.ar/upload/teorema-de-thales.pdf